Средноаритметична стойност, медиана, мода
![Средноаритметична стойност, медиана, мода](/media/images/mean_median_mode.webp)
В математиката и статистиката такива понятия като средно аритметично, медиана и мода са широко използвани. Те ви позволяват да намерите средни стойности за големи количества числа / данни и са неразделна част от статистическите изследвания. Второто им име е мерки на централна тенденция и при нормално разпределение на числата медианата, модата и средната аритметична стойност винаги са равни.
Мерки на описателна статистика
Средно аритметично
Най-лесният за разбиране е средната аритметична стойност, която е равна на отношението на сбора на числата към техния брой. Така че, ако вземем масив от 500 различни елемента, поставим числените им стойности в скоби и разделим на 500, получаваме средното аритметично. Елементите, които се осредняват, най-често са резултати от изследвания, статистически данни, икономически показатели и др. Днес този подход се използва в повечето области на науката и природните науки, включително хуманитарните науки, като историята. Най-общо формулата изглежда така:
x = (x1 + x2 + ... + xn) / n,
където x е средната аритметична стойност, а n е броят на стойностите, които трябва да бъдат осреднени.
Въпреки че статистическата средна стойност се използва за определяне на централните тенденции много по-често от медианата и модата, нейната точност не е висока, когато се работи с разнородни (много различни) данни.
Медиана
Също толкова важна мярка за централната тенденция е медианата, която се намира по съвсем различен принцип. Стойностите на масива не трябва да се добавят и разделят на техния брой, а просто се подреждат в ред: от най-малкия до най-големия. Централната стойност на тази серия ще бъде равна на медианата. Всички стойности, разположени вляво от него, ще бъдат по-малко, а вдясно - повече. Броят на числата в един ред няма значение и може да бъде или 3-5 стойности, или милиони/милиарди. Но за да бъде медианата възможно най-обективна/недвусмислена, броят на стойностите трябва да е нечетен.
При идеално разпределение на числата медианата и средната аритметична стойност са равни. Но първият дава възможност да се намери централната тенденция много по-точно с голямо разпространение на числа (при асиметрични разпределения). Това става особено полезно при изчисляване на динамични величини.
Мода
Името на тази мярка напълно предава нейната същност. И така, "модерно" е това, към което мнозинството се стреми. Тоест режимът е стойността, която се среща най-често в даден ред/масив. Последните се характеризират с едновременното съществуване на няколко режима наведнъж. Например, ако най-често срещаните стойности в масива са a, b и n, те се събират заедно и се разделят на числото (3). Тоест намират средноаритметичното.
Най-често модът се използва в нечислови изследвания, където определени характеристики/свойства се използват вместо числа. Например цветове: синьо, зелено, сребристо, златисто. Или видовото разнообразие: териер, ротвайлер, доберман, овчарско куче. За да разберете кой от тези цветове (или порода кучета) се среща най-често в серия, такава мярка като модата позволява. С развитието на цифровите технологии обаче неговата математическа принадлежност става все по-очевидна.
Малко история
И трите мерки бяха широко използвани сравнително наскоро - от 18-ти до 20-ти век. Най-ранното е понятието мода, което е изобретено през 18 век в Европа и първоначално е било използвано само по отношение на облеклото. Днес модата се прилага към всяко нечислово изследване, включително в областите на индустрията, селското стопанство, строителството.
Малко по-късно, през 1843 г., беше въведено такова понятие като "медиана" - централната стойност в поредица от числа, подредени по размер от най-малкото до най-голямото. Той е въведен от френския математик Антоан Огюстен Курно, който провежда психологически и социологически изследвания, използвайки това откритие. В допълнение, медианата намери широко приложение в такава област на науката като астрономията.
Най-новото изобретение сред представените е средноаритметичното. Трудно е да се повярва, но той е бил широко използван едва след 1906 г. - преди малко повече от 100 години. Инициатор е известният английски учен Франсис Галтън, който по време на посещение на селскостопанско изложение изчислява средната стойност от отговорите на 787 участници в състезанието, разделяйки сумата от стойностите на техния брой. Ставаше дума за отгатване на теглото на бика по око и резултатите от изследването на Хамилтън потвърдиха, че средноаритметичната стойност от 787 отговора се оказа възможно най-точна, въпреки голямото разпространение и приближението на изразените опции.
Обобщавайки, можем да кажем, че днес мерките на централната тенденция са в основата на всяка статистика. Без тях по принцип е невъзможно точното планиране: разходи, приходи, продукция и т.н. За да изчислите режима, медианата или средното аритметично, днес можете да използвате стандартни формули или специални приложения.