গড়, মধ্যমা, মোড (সূত্র, উদাহরণ)

গণিত এবং পরিসংখ্যানে, পাটিগণিত গড়, মধ্যমা এবং মোডের মতো ধারণাগুলি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। তারা আপনাকে প্রচুর পরিমাণে সংখ্যা/ডেটার জন্য গড় খুঁজে বের করার অনুমতি দেয় এবং পরিসংখ্যান গবেষণার একটি অবিচ্ছেদ্য অংশ। তাদের দ্বিতীয় নাম হল কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ, এবং সংখ্যার স্বাভাবিক বণ্টনের সাথে, মধ্যমা, মোড এবং গাণিতিক গড় সর্বদা সমান।

বর্ণনামূলক পরিসংখ্যানের পরিমাপ

পাটিগণিতের গড়

পাটিগণিত গড় বোঝা সবচেয়ে সহজ, যা সংখ্যার যোগফলের সাথে তাদের সংখ্যার অনুপাতের সমান। সুতরাং, যদি আমরা 500টি বিভিন্ন উপাদানের একটি অ্যারে নিই, তাদের সংখ্যাসূচক মানগুলিকে বন্ধনীতে রাখি এবং 500 দ্বারা ভাগ করি, আমরা পাটিগণিত গড় পাব। যে উপাদানগুলি গড় করা হবে তা হল প্রায়শই গবেষণার ফলাফল, পরিসংখ্যানগত তথ্য, অর্থনৈতিক সূচক এবং আরও অনেক কিছু। আজ, এই পদ্ধতিটি ইতিহাসের মতো মানবিক সহ বিজ্ঞান এবং প্রাকৃতিক বিজ্ঞানের বেশিরভাগ ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়। সাধারণভাবে, সূত্রটি এরকম দেখায়:

x = (x1 + x2 + ... + xn) / n,

যেখানে x হল গাণিতিক গড় এবং n হল গড় করা মানের সংখ্যা।

যদিও পরিসংখ্যানগত গড় মধ্যম এবং মোডের তুলনায় কেন্দ্রীয় প্রবণতা নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়, কিন্তু ভিন্নধর্মী (খুব ভিন্ন) ডেটা নিয়ে কাজ করার সময় এর নির্ভুলতা বেশি হয় না।

মাঝারি

কেন্দ্রীয় প্রবণতার একটি সমান গুরুত্বপূর্ণ পরিমাপ হল মধ্যক, যা সম্পূর্ণ ভিন্ন নীতি অনুসারে পাওয়া যায়। অ্যারের মানগুলিকে তাদের সংখ্যা দ্বারা যোগ এবং ভাগ করার দরকার নেই, তবে কেবল একটি সারিতে সাজানো: ছোট থেকে বৃহত্তম পর্যন্ত। এই সিরিজের কেন্দ্রীয় মান মধ্যকের সমান হবে। এর বাম দিকে অবস্থিত সমস্ত মান কম হবে, এবং ডানদিকে - আরও বেশি। একটি সারিতে সংখ্যার সংখ্যা কোন ব্যাপার না, এবং এটি হয় 3-5 মান বা মিলিয়ন/বিলিয়ন হতে পারে। কিন্তু মধ্যমা যতটা সম্ভব উদ্দেশ্যমূলক/দ্ব্যর্থহীন হওয়ার জন্য, মানের সংখ্যা অবশ্যই বিজোড় হতে হবে।

সংখ্যার একটি আদর্শ বণ্টনের সাথে, মধ্যমা এবং গাণিতিক গড় সমান। কিন্তু প্রথমটি সংখ্যার বৃহৎ বিস্তারের মাধ্যমে (অসমমিতিক বন্টনে) কেন্দ্রীয় প্রবণতাকে আরও সঠিকভাবে খুঁজে পাওয়া সম্ভব করে তোলে। গতিশীল পরিমাণ গণনা করার সময় এটি বিশেষভাবে কার্যকর হয়ে ওঠে।

ফ্যাশন

এই পরিমাপের নামটি সম্পূর্ণরূপে এর সারমর্ম প্রকাশ করে। সুতরাং, "ফ্যাশনেবল" যা সংখ্যাগরিষ্ঠের আকাঙ্খা। অর্থাৎ, মোড হল সেই মান যা একটি প্রদত্ত সারি/অ্যারেতে প্রায়শই ঘটে। পরেরটি একবারে একাধিক মোডের যুগপত অস্তিত্ব দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি অ্যারের সবচেয়ে সাধারণ মানগুলি a, b, এবং n হয়, সেগুলি একসাথে যোগ করা হয় এবং সংখ্যা (3) দ্বারা ভাগ করা হয়। অর্থাৎ, তারা পাটিগণিতের গড় খুঁজে পায়।

প্রায়শই, মোডটি অ-সংখ্যাসূচক গবেষণায় ব্যবহৃত হয়, যেখানে সংখ্যার পরিবর্তে নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য/বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, রং: নীল, সবুজ, রূপালী, সোনালী। বা প্রজাতির বৈচিত্র্য: টেরিয়ার, রটওয়েলার, ডোবারম্যান, মেষপালক কুকুর। এই রঙগুলির মধ্যে কোনটি (বা কুকুরের জাত) একটি সিরিজে প্রায়শই ঘটে তা খুঁজে বের করার জন্য, ফ্যাশনের মতো একটি পরিমাপ অনুমতি দেয়। যাইহোক, ডিজিটাল প্রযুক্তির বিকাশের সাথে সাথে এর গাণিতিক সংযুক্তি আরও স্পষ্ট হয়ে উঠছে।

একটু ইতিহাস

সমস্ত তিনটি ব্যবস্থাই তুলনামূলকভাবে সম্প্রতি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়েছিল - 18 থেকে 20 শতক পর্যন্ত। প্রাচীনতমটি হল ফ্যাশনের ধারণা, যা ইউরোপে 18 শতকে উদ্ভাবিত হয়েছিল এবং মূলত শুধুমাত্র পোশাকের ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়েছিল। আজ, শিল্প, কৃষি, নির্মাণের ক্ষেত্র সহ যেকোনো অ-সংখ্যিক গবেষণায় ফ্যাশন প্রয়োগ করা হয়।

একটু পরে, 1843 সালে, "মিডিয়ান" এর মতো একটি ধারণা চালু করা হয়েছিল - সংখ্যার একটি সিরিজের কেন্দ্রীয় মান, আকারে ছোট থেকে বড় পর্যন্ত ক্রমানুসারে। এটি ফরাসি গণিতবিদ এন্টোইন অগাস্টিন কর্ণট দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল, যিনি এই আবিষ্কারটি ব্যবহার করে মনস্তাত্ত্বিক এবং সমাজতাত্ত্বিক গবেষণা পরিচালনা করেছিলেন। উপরন্তু, জ্যোতির্বিদ্যার মতো বিজ্ঞানের ক্ষেত্রে মধ্যকার ব্যাপক প্রয়োগ পাওয়া গেছে।

উপস্থাপিতদের মধ্যে সাম্প্রতিকতম আবিষ্কার হল পাটিগণিত গড়। এটা বিশ্বাস করা কঠিন, কিন্তু এটি শুধুমাত্র 1906 সালের পরে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়েছিল - 100 বছরেরও একটু বেশি আগে। সূচনাকারী ছিলেন বিখ্যাত ইংরেজ বিজ্ঞানী ফ্রান্সিস গাল্টন, যিনি একটি কৃষি প্রদর্শনী পরিদর্শনের সময়, প্রতিযোগিতায় অংশগ্রহণকারী 787 জন উত্তর থেকে গড় মান গণনা করেছিলেন, মানের সমষ্টিকে তাদের সংখ্যা দ্বারা ভাগ করেছিলেন। এটি ছিল চোখের দ্বারা ষাঁড়ের ওজন অনুমান করার বিষয়ে, এবং হ্যামিল্টনের গবেষণার ফলাফল নিশ্চিত করেছে যে 787টি উত্তরের গাণিতিক গড় যতটা সম্ভব নির্ভুল বলে প্রমাণিত হয়েছে, ভয়েসড বিকল্পগুলির ব্যাপক বিস্তার এবং আনুমানিকতা সত্ত্বেও।

সংক্ষেপে, আমরা বলতে পারি যে আজ কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ যেকোনো পরিসংখ্যানের ভিত্তি। এগুলি ছাড়া, নীতিগতভাবে, সঠিক পরিকল্পনা করা অসম্ভব: ব্যয়, আয়, আউটপুট ইত্যাদি। মোড, মধ্যক বা গাণিতিক গড় গণনা করতে, আজ আপনি মানক সূত্র বা বিশেষ অ্যাপ্লিকেশন ব্যবহার করতে পারেন।