😍 Mittelwert-, Median- und Modus-Rechner

In der Mathematik und Statistik werden häufig Konzepte wie das arithmetische Mittel, der Median und der Modus verwendet. Sie ermöglichen die Ermittlung von Durchschnittswerten für große Zahlen-/Datenmengen und sind ein wesentlicher Bestandteil der statistischen Forschung. Ihr zweiter Name ist Maßeinheiten der zentralen Tendenz, und bei einer normalen Zahlenverteilung sind Median, Modus und arithmetisches Mittel immer gleich.

Maße der deskriptiven Statistik

Arithmetisches Mittel

Am einfachsten zu verstehen ist das arithmetische Mittel, das dem Verhältnis der Summe der Zahlen zu ihrer Zahl entspricht. Wenn wir also ein Array mit 500 verschiedenen Elementen nehmen, ihre numerischen Werte in Klammern setzen und durch 500 dividieren, erhalten wir das arithmetische Mittel. Bei den zu mittelnden Elementen handelt es sich meist um Forschungsergebnisse, statistische Daten, Wirtschaftsindikatoren usw. Heutzutage wird dieser Ansatz in den meisten Bereichen der Wissenschaft und Naturwissenschaften verwendet, darunter auch in den Geisteswissenschaften, beispielsweise in der Geschichte. Im Allgemeinen sieht die Formel so aus:

x = (x1 + x2 + ... + xn) / n,

wobei x das arithmetische Mittel und n die Anzahl der zu mittelnden Werte ist.

Obwohl der statistische Mittelwert viel häufiger zur Bestimmung zentraler Trends verwendet wird als der Median und der Modus, ist seine Genauigkeit beim Umgang mit heterogenen (sehr unterschiedlichen) Daten nicht hoch.

Median

Ein ebenso wichtiges Maß für den zentralen Trend ist der Median, der nach einem völlig anderen Prinzip ermittelt wird. Array-Werte müssen nicht addiert und durch ihre Anzahl dividiert werden, sondern einfach in einer Reihe angeordnet werden: vom kleinsten zum größten. Der zentrale Wert dieser Reihe entspricht dem Median. Alle Werte links davon sind kleiner und rechts größer. Die Anzahl der Zahlen in einer Reihe spielt keine Rolle und kann entweder 3-5 Werte oder Millionen/Milliarden betragen. Damit der Median aber möglichst objektiv/eindeutig ist, muss die Anzahl der Werte ungerade sein.

Bei einer idealen Zahlenverteilung sind Median und arithmetisches Mittel gleich. Aber die erste ermöglicht es, den zentralen Trend bei einer großen Zahlenstreuung (in asymmetrischen Verteilungen) viel genauer zu finden. Dies ist besonders nützlich bei der Berechnung dynamischer Größen.

Mode

Der Name dieser Maßnahme bringt ihr Wesen voll und ganz zum Ausdruck. „Modisch“ ist also das, was die Mehrheit anstrebt. Das heißt, der Modus ist der Wert, der in einer bestimmten Zeile/einem bestimmten Array am häufigsten vorkommt. Letztere zeichnen sich durch die gleichzeitige Existenz mehrerer Modi aus. Wenn beispielsweise die häufigsten Werte im Array a, b und n sind, werden sie addiert und durch die Zahl (3) dividiert. Das heißt, sie ermitteln das arithmetische Mittel.

Am häufigsten wird der Mod in nicht-numerischen Studien verwendet, wo bestimmte Merkmale/Eigenschaften anstelle von Zahlen verwendet werden. Zum Beispiel Farben: Blau, Grün, Silber, Gold. Oder Artenvielfalt: Terrier, Rottweiler, Dobermann, Schäferhund. Um herauszufinden, welche dieser Farben (oder Hunderassen) in einer Reihe am häufigsten vorkommt, ist ein Maß erforderlich, das die Mode zulässt. Mit der Entwicklung digitaler Technologien wird seine mathematische Zugehörigkeit jedoch immer offensichtlicher.

Ein bisschen Geschichte

Alle drei Maße wurden erst vor relativ kurzer Zeit häufig verwendet – vom 18. bis zum 20. Jahrhundert. Am frühesten ist der Begriff der Mode, der im 18. Jahrhundert in Europa erfunden wurde und ursprünglich nur in Bezug auf Kleidung verwendet wurde. Heutzutage wird Mode auf jede nicht-numerische Forschung angewendet, einschließlich der Bereiche Industrie, Landwirtschaft und Bauwesen.

Ein wenig später, im Jahr 1843, wurde ein Konzept wie der „Median“ eingeführt – der zentrale Wert in einer Reihe von Zahlen, deren Größe vom kleinsten zum größten geordnet ist. Es wurde vom französischen Mathematiker Antoine Augustin Cournot eingeführt, der anhand dieser Entdeckung psychologische und soziologische Forschungen durchführte. Darüber hinaus hat der Median in einem Wissenschaftsbereich wie der Astronomie breite Anwendung gefunden.

Die jüngste Erfindung unter den vorgestellten ist das arithmetische Mittel. Es ist kaum zu glauben, aber es wurde erst nach 1906 – also vor etwas mehr als 100 Jahren – in großem Umfang verwendet. Initiator war der berühmte englische Wissenschaftler Francis Galton, der bei einem Besuch einer Landwirtschaftsausstellung den Durchschnittswert aus den Antworten von 787 Teilnehmern des Wettbewerbs berechnete, indem er die Summe der Werte durch deren Anzahl dividierte. Es ging darum, das Gewicht des Stiers mit dem Auge zu erraten, und die Ergebnisse von Hamiltons Studie bestätigten, dass sich das arithmetische Mittel von 787 Antworten trotz der großen Streuung und Näherung der geäußerten Optionen als möglichst genau erwies.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass heute die Maße des zentralen Trends die Grundlage jeder Statistik bilden. Ohne sie ist eine genaue Planung grundsätzlich nicht möglich: Ausgaben, Einnahmen, Produktion usw. Zur Berechnung des Modus, des Medians oder des arithmetischen Mittels können Sie heute Standardformeln oder spezielle Anwendungen verwenden.

Wie man den Mittelwert, den Median und den Modus ermittelt

In der Statistik kann man auf Größen wie das arithmetische Mittel, den Median und den Modus nicht verzichten. Sie werden mit relativ einfachen Formeln berechnet und ermöglichen es Ihnen, die Durchschnittswerte beliebiger numerischer Reihen/Arrays sowie die Durchschnittswerte nichtnumerischer Berechnungen (nur Modi) zu ermitteln.

Ermitteln des arithmetischen Mittels

Es gibt nichts Einfacheres, als das arithmetische Mittel mehrerer natürlicher Zahlen zu ermitteln. Dazu genügt es, die Formel x = (x1 + x2 + ... + xn) / n zu verwenden, also die Summe der Werte durch ihre Anzahl zu dividieren. Schritt für Schritt sieht dieser Vorgang so aus:

Fügen Sie alle ursprünglichen Zahlen hinzu.
Zählen Sie die Anzahl der Zahlen.
Dividieren Sie die Summe der Zahlen durch die Zahl.

Wenn wir zum Beispiel die Zahlen 2, 11 und 17 nehmen, erhalten wir: (2 + 11 + 17) / 3 = 30 / 3 = 3. Es ist schwieriger, mit mehrwertigen und negativen Zahlen zu arbeiten, insbesondere wenn es um große Zahlenfelder geht: mehrere Zehner, Hunderter, Tausende. In diesem Fall kommt eine automatisierte/programmierbare Berechnung zum Einsatz: durch spezielle Anwendungen und Online-Rechner.

Ermitteln des Medians

Die Berechnung des arithmetischen Mittels ist klar und einfach, bietet jedoch bei einer großen Wertestreuung keine hohe Genauigkeit. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Durchschnittstemperatur im Krankenhaus kein brauchbarer Indikator ist. Eine alternative Möglichkeit, den zentralen Trend zu ermitteln, ist die Verwendung des Medians. Um es genug zu bekommen:

Ordnen Sie alle Zahlen in einer Reihe an: vom kleinsten zum größten (in aufsteigender Reihenfolge).
Wählen Sie die mittlere/mittlere Zahl aus.

Wenn wir beispielsweise eine Reihe von Zahlen 12, 3, 1, 45, 83, 4, 6, 11 und 100 haben, ordnen wir sie in der Reihenfolge: 1, 3, 4, 6, 11, 12, 45 , 83 und 100. Die zentrale Zahl ist 11. Dies ist der gewünschte Median. Sie finden es in einer ungeraden Anzahl von Werten in einer Aktion und in einer geraden Anzahl in zwei. Wählen Sie also statt einer zentralen Zahl zwei aus, addieren Sie sie und teilen Sie sie in zwei Hälften. Für die Menge 2, 3, 5 und 8 würde es beispielsweise so aussehen: (3 + 5) / 2 = 4.

Aus dem vorgestellten Beispiel lässt sich erkennen, dass bei einer großen Zahlenstreuung die Genauigkeit des Medians sogar geringer ist als die des arithmetischen Mittels. Im Bereich von 1 bis 100 ist 11 also definitiv kein Durchschnitt, und das ist sogar mit bloßem Auge erkennbar. Daher werden vor der Berechnung die sogenannten „Emissionen“ berücksichtigt – Einzelwerte einer Reihe mit zu hohem oder umgekehrt – zu niedrigem Nennwert. Beispielsweise ist in der Menge 1, 2, 4, 6 und 73 ein solcher Ausreißer die Zahl 73.

Mode finden

Der Name dieser Größe spricht für sich und der Modus ist der am häufigsten vorkommende Wert in einer Reihe von Zahlen. Wenn Sie beispielsweise eine Menge von 4, 7, 3, 4, 6, 8, 1, 4, 3, 9, 2 und 4 nehmen, ist der Wert 4 der Modus. Bei zwei sich wiederholenden Werten handelt es sich um eine bimodale Reihe bestimmt, und mit drei oder mehr - multimodal. Bei Intervallreihen von Zahlen ist die Ermittlung des Modus etwas anders und Sie müssen nicht nach dem häufigsten Wert, sondern nach dem häufigsten Modalintervall suchen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass alle drei Maße (arithmetisches Mittel, Median und Modus) in Mathematik und Statistik gleichermaßen wichtig sind, aber in unterschiedlichen Situationen verwendet werden. Sie können sie (in Ihrem Kopf) manuell aus einer kleinen Anzahl von Primzahlen berechnen, diese Methode ist jedoch nicht für große und komplexe Reihen geeignet. Dafür gibt es spezielle Anwendungen, bei denen die Anfangsdaten eingegeben werden, woraufhin das Programm schnell und mit maximaler Genauigkeit den gewünschten Durchschnittsindikator liefert.

Mittelwert, Median, Modus