😍 ماشین حساب میانگین، میانه، مد

در ریاضیات و آمار، مفاهیمی مانند میانگین حسابی، میانه و مد به طور گسترده استفاده می شود. آنها به شما امکان می دهند میانگین هایی را برای مقادیر زیادی از اعداد / داده ها پیدا کنید و بخشی جدایی ناپذیر از تحقیقات آماری هستند. نام دوم آنها معیارهای گرایش مرکزی است و با توزیع نرمال اعداد، میانه، حالت و میانگین حسابی همیشه برابر هستند.

معیارهای آمار توصیفی

میانگین حسابی

آسانترین برای درک میانگین حسابی است که برابر است با نسبت مجموع اعداد به تعداد آنها. بنابراین، اگر آرایه ای از 500 عنصر مختلف را بگیریم، مقادیر عددی آنها را در پرانتز قرار دهیم و بر 500 تقسیم کنیم، میانگین حسابی به دست می آید. عناصری که باید میانگین گیری شوند اغلب نتایج تحقیقات، داده های آماری، شاخص های اقتصادی و غیره هستند. امروزه از این رویکرد در بیشتر حوزه های علوم و علوم طبیعی از جمله علوم انسانی مانند تاریخ استفاده می شود. به طور کلی، فرمول به این صورت است:

x = (x1 + x2 + ... + xn) / n،

که در آن x میانگین حسابی و n تعداد مقادیری است که باید به طور میانگین محاسبه شوند.

اگرچه میانگین آماری برای تعیین روندهای مرکزی بسیار بیشتر از میانه و حالت استفاده می شود، دقت آن هنگام برخورد با داده های ناهمگن (بسیار متفاوت) بالا نیست.

میانگین

یک معیار به همان اندازه مهم برای روند مرکزی، میانه است که طبق اصل کاملاً متفاوتی یافت می شود. مقادیر آرایه نیازی به افزودن و تقسیم بر تعداد آنها ندارند، بلکه به سادگی در یک ردیف مرتب می شوند: از کوچکترین به بزرگترین. مقدار مرکزی این سری برابر با میانه خواهد بود. تمام مقادیر واقع در سمت چپ آن کمتر و در سمت راست - بیشتر خواهد بود. تعداد اعداد در یک ردیف مهم نیست و می تواند 3-5 مقدار یا میلیون ها / میلیاردها باشد. اما برای اینکه میانه تا حد امکان عینی/بدون ابهام باشد، تعداد مقادیر باید فرد باشد.

با توزیع ایده آل اعداد، میانه و میانگین حسابی برابر هستند. اما اولین مورد این امکان را فراهم می کند که روند مرکزی را با دقت بیشتری با گسترش اعداد (در توزیع های نامتقارن) پیدا کنید. این به ویژه هنگام محاسبه کمیت های دینامیکی مفید است.

مد

نام این اقدام به طور کامل ماهیت آن را نشان می دهد. بنابراین، "مد" چیزی است که اکثریت آرزوی آن را دارند. یعنی حالت مقداری است که بیشتر در یک ردیف/آرایه داده شده رخ می دهد. حالت دوم با وجود همزمان چندین حالت در یک زمان مشخص می شود. به عنوان مثال، اگر رایج ترین مقادیر در آرایه a، b و n باشد، آنها با هم جمع شده و بر عدد (3) تقسیم می شوند. یعنی میانگین حسابی را پیدا می کنند.

اغلب، این mod در مطالعات غیر عددی استفاده می‌شود، جایی که ویژگی‌ها/ویژگی‌های خاصی به جای اعداد استفاده می‌شوند. به عنوان مثال، رنگ ها: آبی، سبز، نقره ای، طلایی. یا تنوع گونه ای: تریر، روتوایلر، دوبرمن، سگ چوپان. برای اینکه بفهمید کدام یک از این رنگ ها (یا نژاد سگ) بیشتر در یک سری اتفاق می افتد، معیاری که مد اجازه می دهد. با این حال، با توسعه فناوری های دیجیتال، وابستگی ریاضی آن بیشتر و بیشتر آشکار می شود.

کمی از تاریخ

هر سه معیار نسبتاً اخیراً به طور گسترده مورد استفاده قرار گرفتند - از قرن 18 تا 20. اولین مفهوم مد است که در قرن 18 در اروپا اختراع شد و در ابتدا فقط در رابطه با لباس استفاده می شد. امروزه مد برای هر تحقیق غیر عددی، از جمله در زمینه‌های صنعت، کشاورزی، ساخت‌وساز استفاده می‌شود.

کمی بعد، در سال 1843، مفهومی مانند "میانگین" معرفی شد - مقدار مرکزی در یک سری از اعداد، که در اندازه از کوچکترین به بزرگترین مرتب شده اند. آنتوان آگوستین کورنو، ریاضیدان فرانسوی، که تحقیقات روانشناختی و جامعه شناختی را با استفاده از این کشف انجام داد، معرفی شد. علاوه بر این، میانه کاربرد گسترده ای در زمینه ای از علم مانند نجوم پیدا کرده است.

جدیدترین اختراع در میان اختراعات ارائه شده، میانگین حسابی است. باورش سخت است، اما تنها پس از سال 1906 - کمی بیش از 100 سال پیش - به طور گسترده مورد استفاده قرار گرفت. آغازگر دانشمند مشهور انگلیسی فرانسیس گالتون بود که در بازدید از یک نمایشگاه کشاورزی، میانگین ارزش را از پاسخ 787 شرکت کننده در مسابقه محاسبه کرد و مجموع مقادیر را بر تعداد آنها تقسیم کرد. این در مورد حدس زدن وزن گاو با چشم بود، و نتایج مطالعه همیلتون تأیید کرد که میانگین حسابی 787 پاسخ با وجود گستردگی زیاد و تقریبی گزینه‌های بیان شده، تا حد امکان دقیق است.

به طور خلاصه می توان گفت که امروزه معیارهای روند مرکزی مبنای هر آماری است. بدون آنها، در اصل، برنامه ریزی دقیق غیرممکن است: هزینه ها، درآمد، خروجی، و غیره. برای محاسبه حالت، میانه یا میانگین حسابی، امروزه می توانید از فرمول های استاندارد یا برنامه های کاربردی خاص استفاده کنید.

در آمار، شما نمی توانید بدون مقادیری مانند میانگین حسابی، میانه و حالت کار کنید. آنها با استفاده از فرمول های نسبتاً ساده محاسبه می شوند و به شما امکان می دهند میانگین مقادیر هر سری/آرایه عددی و همچنین میانگین محاسبات غیر عددی (فقط حالت ها) را پیدا کنید.

یافتن میانگین حسابی

هیچ چیز ساده تر از یافتن میانگین حسابی چندین عدد طبیعی نیست. برای انجام این کار کافی است از فرمول x = (x1 + x2 + ... + xn) / n استفاده کنید، یعنی مجموع مقادیر را بر تعداد آنها تقسیم کنید. گام به گام، این عملیات به شکل زیر است:

همه اعداد اصلی را اضافه کنید.
تعداد اعداد را بشمارید.
مجموع اعداد را بر عدد تقسیم کنید.

به عنوان مثال، اگر اعداد 2، 11 و 17 را در نظر بگیریم، به دست می آید: (2 + 11 + 17) / 3 = 30 / 3 = 3. کار با اعداد چند ارزشی و منفی دشوارتر است. به خصوص وقتی صحبت از اعداد آرایه های بزرگ می شود: چند ده، صدها، هزاران. در این مورد، از یک محاسبه خودکار / قابل برنامه ریزی استفاده می شود: از طریق برنامه های کاربردی خاص و ماشین حساب های آنلاین.

یافتن میانه

محاسبه میانگین حسابی واضح و ساده است، اما دقت بالایی را با گسترش زیاد مقادیر ارائه نمی دهد. این دقیقاً زمانی است که میانگین دمای بیمارستان یک شاخص مفید نیست. یک راه جایگزین برای یافتن روند مرکزی استفاده از میانه است. برای دریافت کافی:

همه اعداد را در یک ردیف مرتب کنید: از کوچکترین به بزرگترین (به ترتیب صعودی).
مرکز/شماره میانی را انتخاب کنید.

به عنوان مثال، اگر مجموعه ای از اعداد 12، 3، 1، 45، 83، 4، 6، 11 و 100 داشته باشیم، آنها را به ترتیب قرار می دهیم: 1، 3، 4، 6، 11، 12، 45 ، 83 و 100. شماره مرکزی 11 است. این میانه مورد نظر است. شما می توانید آن را در تعداد فرد از مقادیر در یک عمل و در یک عدد زوج در دو پیدا کنید. بنابراین، به جای یک عدد مرکزی، دو عدد را انتخاب کرده، آنها را جمع کرده و به دو نیم تقسیم کنید. به عنوان مثال، برای مجموعه 2، 3، 5 و 8 به این صورت است: (3 + 5) / 2 = 4.

از مثال ارائه شده می توان فهمید که در صورت گسترش زیاد اعداد، دقت میانه حتی کمتر از میانگین حسابی است. بنابراین ، در محدوده 1 تا 100 - 11 قطعاً میانگین نیست و این حتی با چشم غیر مسلح نیز قابل توجه است. بنابراین، قبل از محاسبه، به اصطلاح "انتشار" در نظر گرفته می شود - مقادیر منفرد یک سری با مقدار اسمی خیلی زیاد یا بالعکس - خیلی کم. به عنوان مثال، در مجموعه 1، 2، 4، 6 و 73 چنین نقطه پرت عدد 73 است.

پیدا کردن مد

نام این کمیت به خودی خود صحبت می کند، و حالت متداول ترین مقدار در مجموعه ای از اعداد است. به عنوان مثال، اگر مجموعه ای از 4، 7، 3، 4، 6، 8، 1، 4، 3، 9، 2 و 4 را بگیرید، مقدار 4 حالت خواهد بود. با دو مقدار تکرار، یک سری دووجهی تعیین شده، و با سه یا بیشتر - چند وجهی. برای سری‌های بازه‌ای اعداد، یافتن حالت کمی متفاوت است، و شما باید به دنبال رایج‌ترین مقدار نباشید، بلکه به دنبال متداول‌ترین فاصله مدال باشید.

به طور خلاصه، هر سه معیار (میانگین حسابی، میانه و حالت) در ریاضیات و آمار به یک اندازه مهم هستند، اما در موقعیت های مختلف استفاده می شوند. می توانید آنها را از روی تعداد کمی اعداد اول به صورت دستی (در ذهن خود) محاسبه کنید، اما این روش برای سری های بزرگ و پیچیده مناسب نیست. برای این کار، برنامه های ویژه ای وجود دارد که داده های اولیه در آنها وارد می شود، پس از آن برنامه به سرعت و با حداکثر دقت نشانگر میانگین مورد نظر را ارائه می دهد.

میانگین، میانه، مُد (فرمولها، مثالها)