😍 Keskiarvo-, mediaani- ja moodilaskuri

Matematiikassa ja tilastoissa käytetään laajalti sellaisia käsitteitä kuin aritmeettinen keskiarvo, mediaani ja moodi. Niiden avulla voit löytää keskiarvoja suurille määrille numeroita / tietoja, ja ne ovat olennainen osa tilastotutkimusta. Heidän toinen niminsä on keskeisen suuntauksen mitta, ja normaalilla lukujakaumalla mediaani, moodi ja aritmeettinen keskiarvo ovat aina yhtä suuret.

Kuvailevien tilastojen mittarit

Aritmeettinen keskiarvo

Helppoin ymmärtää on aritmeettinen keskiarvo, joka on yhtä suuri kuin lukujen summan suhde niiden lukumäärään. Joten jos otamme 500 eri elementin joukon, laitamme niiden numeeriset arvot suluihin ja jaamme 500:lla, saamme aritmeettisen keskiarvon. Keskiarvoistettavia elementtejä ovat useimmiten tutkimustulokset, tilastotiedot, taloudelliset indikaattorit ja niin edelleen. Nykyään tätä lähestymistapaa käytetään useimmilla tieteen ja luonnontieteen aloilla, mukaan lukien humanistiset tieteet, kuten historia. Yleensä kaava näyttää tältä:

x = (x1 + x2 + ... + xn) / n,

jossa x on aritmeettinen keskiarvo ja n on keskiarvoistettavien arvojen lukumäärä.

Vaikka tilastollista keskiarvoa käytetään keskeisten trendien määrittämiseen paljon useammin kuin mediaania ja moodia, sen tarkkuus ei ole korkea, kun käsitellään heterogeenista (erittäin erilaista) dataa.

Mediaani

Yhtä tärkeä keskeisen trendin mittari on mediaani, joka löydetään aivan toisenlaisen periaatteen mukaan. Taulukon arvoja ei tarvitse lisätä ja jakaa niiden lukumäärällä, vaan ne on yksinkertaisesti järjestettävä riviin: pienimmästä suurimpaan. Tämän sarjan keskusarvo on yhtä suuri kuin mediaani. Kaikki sen vasemmalla puolella olevat arvot ovat vähemmän ja oikealla - enemmän. Numeroiden määrällä rivissä ei ole väliä, ja se voi olla joko 3-5 arvoa tai miljoonia/miljardeja. Mutta jotta mediaani olisi mahdollisimman objektiivinen/yksiselitteinen, arvojen lukumäärän on oltava pariton.

Ihanteellisella lukujakaumalla mediaani ja aritmeettinen keskiarvo ovat yhtä suuret. Mutta ensimmäinen mahdollistaa keskeisen trendin löytämisen paljon tarkemmin suurella lukuhajallaan (epäsymmetrisissä jakaumissa). Tämä on erityisen hyödyllistä laskettaessa dynaamisia suureita.

Muoti

Tämän toimenpiteen nimi ilmaisee täysin sen olemuksen. Joten "muodikas" on se, mihin enemmistö pyrkii. Toisin sanoen tila on arvo, joka esiintyy useimmin tietyssä rivissä/taulukossa. Jälkimmäisille on ominaista useiden moodien samanaikainen olemassaolo kerralla. Esimerkiksi, jos taulukon yleisimmät arvot ovat a, b ja n, ne lasketaan yhteen ja jaetaan luvulla (3). Eli he löytävät aritmeettisen keskiarvon.

Useimmiten modia käytetään ei-numeerisissa tutkimuksissa, joissa käytetään tiettyjä ominaisuuksia/ominaisuuksia numeroiden sijaan. Esimerkiksi värit: sininen, vihreä, hopea, kultainen. Tai lajien monimuotoisuus: terrieri, rottweiler, doberman, paimenkoira. Jotta saadaan selville, mikä näistä väreistä (tai koiraroduista) esiintyy useimmiten sarjassa, muoti sallii. Digitaalisten teknologioiden kehittyessä sen matemaattinen sidos kuitenkin käy yhä selvemmäksi.

Hieman historiaa

Kaikki kolme mittaa käytettiin laajalti suhteellisen hiljattain – 1700-1900-luvuilla. Varhaisin on muodin käsite, joka keksittiin Euroopassa 1700-luvulla ja jota käytettiin alun perin vain vaatteiden yhteydessä. Nykyään muotia sovelletaan kaikkeen ei-numeeriseen tutkimukseen, mukaan lukien teollisuuden, maatalouden ja rakentamisen aloilla.

Hieman myöhemmin, vuonna 1843, otettiin käyttöön sellainen käsite kuin "mediaani" - keskeinen arvo numerosarjassa, jonka koko on järjestetty pienimmästä suurimpaan. Sen esitteli ranskalainen matemaatikko Antoine Augustin Cournot, joka suoritti psykologista ja sosiologista tutkimusta käyttämällä tätä löytöä. Lisäksi mediaani on löytänyt laajan sovelluksen sellaisella tieteenalalla kuin tähtitiede.

Viimeisin esitettyjen keksintöjen joukossa on aritmeettinen keskiarvo. On vaikea uskoa, mutta sitä käytettiin laajalti vasta vuoden 1906 jälkeen - hieman yli 100 vuotta sitten. Aloittaja oli kuuluisa englantilainen tiedemies Francis Galton, joka maatalousnäyttelyn vierailun aikana laski keskiarvon 787 kilpailun osallistujan vastauksista jakamalla arvojen summan heidän lukumäärällään. Kyse oli härän painon arvaamisesta silmän perusteella, ja Hamiltonin tutkimuksen tulokset vahvistivat, että 787 vastauksen aritmeettinen keskiarvo osoittautui mahdollisimman tarkaksi huolimatta soinnillisten vaihtoehtojen suuresta levinneisyydestä ja likimääräisyydestä.

Yhteenvetona voidaan todeta, että nykyään keskeisen trendin mittarit ovat kaiken tilaston perusta. Ilman niitä periaatteessa tarkka suunnittelu on mahdotonta: kulut, tulot, tuotos jne. Moodin, mediaanin tai aritmeettisen keskiarvon laskemiseen voit nykyään käyttää vakiokaavoja tai erikoissovelluksia.

Miten määrittää keskiarvo, mediaani, moodi

Tilastossa et tule toimeen ilman sellaisia suureita kuin aritmeettinen keskiarvo, mediaani ja moodi. Ne lasketaan melko yksinkertaisilla kaavoilla, ja niiden avulla voit löytää minkä tahansa numeerisen sarjan/taulukon keskiarvot sekä ei-numeeristen laskelmien keskiarvot (vain tilat).

Aritmeettisen keskiarvon löytäminen

Mikään ei ole helpompaa kuin löytää useiden luonnollisten lukujen aritmeettinen keskiarvo. Tätä varten riittää käyttää kaavaa x = (x1 + x2 + ... + xn) / n, eli jakaa arvojen summa niiden lukumäärällä. Askel askeleelta tämä toiminto näyttää tältä:

Lisää kaikki alkuperäiset numerot.
Laske numeroiden määrä.
Jaa lukujen summa luvulla.

Jos esimerkiksi otamme luvut 2, 11 ja 17, saamme: (2 + 11 + 17) / 3 = 30 / 3 = 3. On vaikeampaa työskennellä moniarvoisten ja negatiivisten lukujen kanssa, varsinkin kun on kyse suurista taulukoiden numeroista: useita kymmeniä, satoja, tuhansia. Tässä tapauksessa käytetään automaattista / ohjelmoitavaa laskentaa: erikoissovellusten ja online-laskimien kautta.

Mediaanin löytäminen

Aritmeettisen keskiarvon laskenta on selkeää ja yksinkertaista, mutta se ei tarjoa suurta tarkkuutta suurella arvojen hajallaan. Näin on juuri silloin, kun sairaalan keskilämpötila ei ole hyödyllinen indikaattori. Vaihtoehtoinen tapa löytää keskeinen trendi on käyttää mediaania. Saadaksesi tarpeeksi:

Järjestä kaikki numerot peräkkäin: pienimmästä suurimpaan (nousevassa järjestyksessä).
Valitse keski-/keskinumero.

Jos meillä on esimerkiksi joukko numeroita 12, 3, 1, 45, 83, 4, 6, 11 ja 100, laitamme ne järjestykseen: 1, 3, 4, 6, 11, 12, 45 , 83 ja 100. Keskiluku on 11. Tämä on haluttu mediaani. Löydät sen parittomasta määrästä arvoja yhdessä toiminnossa ja parillisessa luvussa kahdessa. Joten valitse yhden keskiluvun sijasta kaksi, laske ne yhteen ja jaa ne kahtia. Esimerkiksi joukko 2, 3, 5 ja 8 näyttäisi tältä: (3 + 5) / 2 = 4.

Esitetystä esimerkistä voidaan ymmärtää, että lukujen suuren hajanaisuuden tapauksessa mediaanin tarkkuus on jopa pienempi kuin aritmeettisen keskiarvon. Joten välillä 1 - 100 - 11 ei todellakaan ole keskiarvo, ja tämä on havaittavissa jopa paljaalla silmällä. Siksi ennen laskentaa otetaan huomioon niin sanotut "päästöt" - sarjan yksittäiset arvot, joiden nimellisarvo on liian korkea tai päinvastoin - liian pieni. Esimerkiksi joukossa 1, 2, 4, 6 ja 73 tällainen poikkeava on luku 73.

Muodin löytäminen

Tämän suuren nimi puhuu puolestaan, ja tila on lukujoukon yleisin arvo. Jos otat esimerkiksi joukon 4, 7, 3, 4, 6, 8, 1, 4, 3, 9, 2 ja 4, tilaksi tulee arvo 4. Kun arvo on kaksi toistuvaa, bimodaalinen sarja on määrätty ja kolmella tai useammalla - multimodaalinen. Intervallisarjojen tilan löytäminen on hieman erilainen, ja sinun ei tarvitse etsiä yleisintä arvoa, vaan yleisintä modaaliväliä.

Yhteenvetona voidaan todeta, että kaikki kolme mittaa (aritmeettinen keskiarvo, mediaani ja moodi) ovat yhtä tärkeitä matematiikassa ja tilastoissa, mutta niitä käytetään eri tilanteissa. Voit laskea ne pienestä määrästä alkulukuja manuaalisesti (mielessäsi), mutta tämä menetelmä ei sovellu suurille ja monimutkaisille sarjoille. Tätä varten on olemassa erikoissovelluksia, joihin syötetään alkutiedot, jonka jälkeen ohjelma antaa nopeasti ja maksimaalisella tarkkuudella halutun keskiarvon.

Keskiarvo, mediaani, tila