😍 Kalkulator aritmetičke sredine, medijana i modusa

U matematici i statistici naširoko se koriste koncepti kao što su aritmetička sredina, medijan i modus. Omogućuju pronalaženje prosjeka za velike količine brojeva/podataka i sastavni su dio statističkog istraživanja. Njihovo drugo ime su mjere središnje tendencije, a kod normalne raspodjele brojeva medijan, mod i aritmetička sredina uvijek su jednaki.

Mjere deskriptivne statistike

Aritmetička sredina

Najlakše je razumjeti aritmetičku sredinu, koja je jednaka omjeru zbroja brojeva i njihovog broja. Dakle, ako uzmemo niz od 500 različitih elemenata, stavimo njihove brojčane vrijednosti u zagrade i podijelimo s 500, dobit ćemo aritmetičku sredinu. Elementi koji se uprosječuju najčešće su rezultati istraživanja, statistički podaci, ekonomski pokazatelji i sl. Danas se ovaj pristup koristi u većini područja znanosti i prirodnih znanosti, uključujući humanističke znanosti, poput povijesti. Općenito, formula izgleda ovako:

x = (x1 + x2 + ... + xn) / n,

gdje je x aritmetička sredina, a n broj vrijednosti za koje treba izračunati prosjek.

Iako se statistička sredina koristi za određivanje središnjih trendova puno češće od medijana i moda, njena točnost nije visoka kada se radi s heterogenim (vrlo različitim) podacima.

Medijan

Jednako važna mjera središnjeg trenda je medijan, koji se utvrđuje prema potpuno drugačijem principu. Vrijednosti niza ne treba zbrajati i dijeliti s njihovim brojem, već jednostavno poredati u nizu: od najmanjeg do najvećeg. Središnja vrijednost ove serije bit će jednaka medijanu. Sve vrijednosti koje se nalaze lijevo od njega bit će manje, a desno - više. Broj brojeva u nizu nije bitan, a može biti ili 3-5 vrijednosti ili milijuni/milijarde. Ali da bi medijan bio što objektivniji/nedvosmislen, broj vrijednosti mora biti neparan.

Kod idealne distribucije brojeva, medijan i aritmetička sredina su jednake. Ali prvi omogućuje mnogo točnije pronalaženje središnjeg trenda s velikim rasponom brojeva (u asimetričnim distribucijama). Ovo postaje osobito korisno pri izračunavanju dinamičkih veličina.

Moda

Naziv ove mjere u potpunosti dočarava njenu bit. Dakle, "moderno" je ono čemu većina teži. Odnosno, mod je vrijednost koja se najčešće pojavljuje u danom retku/nizu. Za potonje je karakteristično istovremeno postojanje nekoliko načina odjednom. Na primjer, ako su najčešće vrijednosti u nizu a, b i n, one se zbrajaju i dijele s brojem (3). Odnosno, pronalaze aritmetičku sredinu.

Najčešće se mod koristi u nenumeričkim studijama, gdje se umjesto brojeva koriste određene karakteristike/svojstva. Na primjer, boje: plava, zelena, srebrna, zlatna. Ili raznolikost vrsta: terijer, rottweiler, doberman, pastirski pas. Da biste saznali koja se od ovih boja (ili pasmina pasa) najčešće pojavljuje u seriji, takva mjera dopušta moda. No, razvojem digitalnih tehnologija sve je očitija njegova matematička pripadnost.

Malo povijesti

Sve tri mjere bile su široko korištene relativno nedavno - od 18. do 20. stoljeća. Najraniji je koncept mode koji je izumljen u 18. stoljeću u Europi, a izvorno se koristio samo u vezi s odjećom. Danas se moda primjenjuje na sva nenumerička istraživanja, uključujući područja industrije, poljoprivrede, građevinarstva.

Nešto kasnije, 1843., uveden je koncept kao što je "medijan" - središnja vrijednost u nizu brojeva, poredanih po veličini od najmanjeg do najvećeg. Uveo ga je francuski matematičar Antoine Augustin Cournot, koji je proveo psihološko i sociološko istraživanje koristeći se ovim otkrićem. Osim toga, medijan je pronašao široku primjenu u području znanosti kao što je astronomija.

Najnoviji izum među predstavljenima je aritmetička sredina. Teško je povjerovati, ali u širokoj je upotrebi tek nakon 1906. - prije nešto više od 100 godina. Inicijator je bio poznati engleski znanstvenik Francis Galton, koji je prilikom posjeta poljoprivrednoj izložbi izračunao prosječnu vrijednost iz odgovora 787 sudionika natjecanja, podijelivši zbroj vrijednosti s njihovim brojem. Radilo se o pogađanju težine bika na oko, a rezultati Hamiltonove studije potvrdili su da se aritmetička sredina od 787 odgovora pokazala najtočnijom, unatoč velikom rasponu i približnosti izrečenih opcija.

Ukratko, možemo reći da su mjere središnjeg trenda danas temelj svake statistike. Bez njih je u načelu nemoguće točno planiranje: rashodi, prihodi, učinak itd. Za izračun moda, medijana ili aritmetičke sredine danas možete koristiti standardne formule ili posebne aplikacije.

Kako odreditii srednju vrijednost, medijan, mod

U statistici ne možete bez veličina kao što su aritmetička sredina, medijan i modus. Izračunavaju se pomoću prilično jednostavnih formula i omogućuju vam da pronađete prosječne vrijednosti bilo kojeg numeričkog niza/niza, kao i prosjeke nenumeričkih izračuna (samo načini).

Pronalaženje aritmetičke sredine

Nema ništa lakše nego pronaći aritmetičku sredinu nekoliko prirodnih brojeva. Da biste to učinili, dovoljno je upotrijebiti formulu x = (x1 + x2 + ... + xn) / n, odnosno podijeliti zbroj vrijednosti njihovim brojem. Korak po korak, ova operacija izgleda ovako:

Dodajte sve originalne brojeve.
Izbrojite brojeve.
Podijelite zbroj brojeva s brojem.

Na primjer, ako uzmemo brojeve 2, 11 i 17, dobivamo: (2 + 11 + 17) / 3 = 30 / 3 = 3. Teže je raditi s viševrijednim i negativnim brojevima, posebno kada se radi o velikim nizovima brojeva: nekoliko desetaka, stotina, tisuća. U ovom slučaju koristi se automatizirani / programabilni izračun: putem posebnih aplikacija i online kalkulatora.

Pronalaženje medijana

Izračun aritmetičke sredine je jasan i jednostavan, ali ne pruža visoku točnost s velikim rasponom vrijednosti. Upravo je to slučaj kada prosječna temperatura u bolnici nije koristan pokazatelj. Alternativni način za pronalaženje središnjeg trenda je korištenje medijana. Da biste dobili dovoljno:

Složite sve brojeve u nizu: od najmanjeg prema najvećem (uzlaznim redoslijedom).
Odaberite središnji/srednji broj.

Na primjer, ako imamo skup brojeva 12, 3, 1, 45, 83, 4, 6, 11 i 100, poredamo ih redom: 1, 3, 4, 6, 11, 12, 45 , 83 i 100. Središnji broj je 11. Ovo je željeni medijan. Možete ga pronaći u neparnom broju vrijednosti u jednoj akciji, au parnom broju u dvije. Dakle, umjesto jednog središnjeg broja, odaberite dva, zbrojite ih i podijelite na pola. Na primjer, za skup 2, 3, 5 i 8 to bi izgledalo ovako: (3 + 5) / 2 = 4.

Iz prikazanog primjera može se razumjeti da je u slučaju velikog raspona brojeva točnost medijana čak niža od točnosti aritmetičke sredine. Dakle, u rasponu od 1 do 100 - 11 definitivno nije prosjek, a to je vidljivo čak i golim okom. Stoga se prije izračuna uzimaju u obzir takozvane "emisije" - pojedinačne vrijednosti serije s previsokom ili obrnuto - preniskom nominalnom vrijednošću. Na primjer, u skupu 1, 2, 4, 6 i 73 takav outlier je broj 73.

Pronalaženje mode

Ime ove veličine govori samo za sebe, a način je vrijednost koja se najčešće pojavljuje u skupu brojeva. Na primjer, ako uzmete skup od 4, 7, 3, 4, 6, 8, 1, 4, 3, 9, 2 i 4, mod će biti vrijednost 4. S dvije vrijednosti koje se ponavljaju, bimodalni niz je određeno, a s tri i više - multimodalni. Za intervalne nizove brojeva pronalaženje načina je malo drugačije i ne trebate tražiti najčešću vrijednost, već najčešći modalni interval.

Ukratko, sve tri mjere (aritmetička sredina, medijan i mod) jednako su važne u matematici i statistici, ali se koriste u različitim situacijama. Možete ih izračunati iz malog broja prostih brojeva ručno (u svom umu), ali ova metoda nije prikladna za velike i složene serije. Za to postoje posebne aplikacije u koje se unose početni podaci, nakon čega program brzo i s maksimalnom točnošću daje željeni prosječni pokazatelj.

Aritmetička sredina, medijan, modus