😍 Átlag, medián, móduskalkulátor

A matematikában és a statisztikában széles körben használják az olyan fogalmakat, mint a számtani átlag, a medián és a módusz. Lehetővé teszik nagy mennyiségű szám/adat átlagának megtalálását, és a statisztikai kutatás szerves részét képezik. Második nevük a központi tendencia mértéke, és a számok normális eloszlása esetén a medián, a módusz és a számtani átlag mindig egyenlő.

A leíró statisztikák mérőszámai

Számtani átlag

A legkönnyebben érthető a számtani átlag, amely egyenlő a számok összegének a számukhoz viszonyított arányával. Tehát, ha veszünk egy 500 különböző elemből álló tömböt, zárójelbe tesszük a számértékeiket, és elosztjuk 500-zal, akkor megkapjuk a számtani átlagot. Az átlagolandó elemek leggyakrabban kutatási eredmények, statisztikai adatok, gazdasági mutatók stb. Ma ezt a megközelítést alkalmazzák a tudomány és a természettudomány legtöbb területén, beleértve a humán tudományokat is, például a történelemben. Általában a képlet így néz ki:

x = (x1 + x2 + ... + xn) / n,

ahol x a számtani átlag, n pedig az átlagolandó értékek száma.

Bár a statisztikai átlagot sokkal gyakrabban használják a központi trendek meghatározására, mint a mediánt és a módozatot, a pontossága nem nagy, ha heterogén (nagyon eltérő) adatokkal foglalkozunk.

Medián

A központi trend ugyanilyen fontos mérőszáma a medián, amely teljesen más elv szerint kerül megállapításra. A tömbértékeket nem kell összeadni és elosztani a számukkal, hanem egyszerűen sorba kell rendezni: a legkisebbtől a legnagyobbig. Ennek a sorozatnak a központi értéke egyenlő lesz a mediánnal. A tőle balra található összes érték kevesebb lesz, a jobb oldalon pedig több. Az egy sorban lévő számok száma nem számít, lehet 3-5 érték vagy millió/milliárd. De ahhoz, hogy a medián a lehető legobjektívebb/egyértelműbb legyen, az értékek számának páratlannak kell lennie.

A számok ideális eloszlása esetén a medián és a számtani átlag egyenlő. Az első azonban lehetővé teszi a központi trend sokkal pontosabb megtalálását nagy számszórás mellett (aszimmetrikus eloszlásban). Ez különösen dinamikus mennyiségek számításakor válik hasznossá.

Divat

Ennek az intézkedésnek a neve teljes mértékben kifejezi annak lényegét. Tehát a "divatos" az, amire a többség törekszik. Vagyis a mód az adott sorban/tömbben leggyakrabban előforduló érték. Ez utóbbiakra jellemző, hogy egyszerre több mód is létezik. Például, ha a tömb leggyakoribb értékei a, b és n, akkor ezeket összeadjuk és elosztjuk a (3) számmal. Vagyis megtalálják a számtani átlagot.

A modot leggyakrabban nem numerikus vizsgálatokban használják, ahol bizonyos jellemzőket/tulajdonságokat használnak számok helyett. Például színek: kék, zöld, ezüst, arany. Vagy a fajok sokfélesége: terrier, rottweiler, doberman, pásztorkutya. Ahhoz, hogy megtudja, melyik szín (vagy kutyafajta) fordul elő leggyakrabban egy sorozatban, olyan intézkedést kell tenni, amelyet a divat lehetővé tesz. A digitális technológiák fejlődésével azonban egyre nyilvánvalóbb a matematikai hovatartozása.

Egy kis történelem

Mindhárom mértéket viszonylag nemrégiben – a 18. és a 20. század között – széles körben használták. A legkorábbi a divat fogalma, amelyet a 18. században találtak ki Európában, és eredetileg csak a ruházattal kapcsolatban használták. Ma a divatot minden nem numerikus kutatásra alkalmazzák, beleértve az ipar, a mezőgazdaság és az építőipar területeit is.

Kicsit később, 1843-ban bevezették az olyan fogalmat, mint a „medián” – ez a központi érték egy számsorban, méret szerint a legkisebbtől a legnagyobbig. Antoine Augustin Cournot francia matematikus vezette be, aki pszichológiai és szociológiai kutatásokat végzett ezzel a felfedezéssel. Ezenkívül a medián széleskörű alkalmazást talált olyan tudományterületen, mint a csillagászat.

A bemutatottak közül a legújabb találmány a számtani átlag. Nehéz elhinni, de csak 1906 után használták széles körben – valamivel több mint 100 évvel ezelőtt. A kezdeményező a híres angol tudós, Francis Galton volt, aki egy mezőgazdasági kiállítás látogatása során a verseny 787 résztvevőjének válaszaiból számolta ki az átlagértéket, és az értékek összegét elosztotta számukkal. A bika súlyának szemről való találgatásáról volt szó, és Hamilton vizsgálatának eredményei megerősítették, hogy 787 válasz számtani átlaga a lehető legpontosabbnak bizonyult, a hangos opciók nagy elterjedése és hozzávetőlegessége ellenére.

Összefoglalva azt mondhatjuk, hogy ma a központi trend mértékei minden statisztika alapját képezik. Ezek nélkül elvileg lehetetlen a pontos tervezés: kiadások, bevételek, kibocsátás stb. A módusz, medián vagy számtani átlag kiszámításához ma már szabványos képleteket vagy speciális alkalmazásokat használhat.

A statisztikákban nem nélkülözheti az olyan mennyiségeket, mint a számtani átlag, a medián és a módusz. Kiszámításuk meglehetősen egyszerű képletekkel történik, és lehetővé teszik bármely numerikus sorozat/tömb átlagos értékének megtalálását, valamint a nem numerikus számítások átlagát (csak módokban).

A számtani átlag megkeresése

Nincs könnyebb, mint megkeresni több természetes szám számtani középértékét. Ehhez elegendő az x = (x1 + x2 + ... + xn) / n képletet használni, azaz elosztani az értékek összegét a számukkal. Ez a művelet lépésről lépésre így néz ki:

Adja hozzá az összes eredeti számot.
Számolja meg a számok számát.
Ossza el a számok összegét a számmal.

Ha például a 2, 11 és 17 számokat vesszük, a következőt kapjuk: (2 + 11 + 17) / 3 = 30 / 3 = 3. Nehezebb a többértékű és negatív számokkal dolgozni, különösen, ha nagy tömbszámokról van szó: több tíz, száz, ezer. Ebben az esetben automatizált / programozható számítást használnak: speciális alkalmazásokon és online számológépeken keresztül.

A medián megkeresése

A számtani átlag kiszámítása világos és egyszerű, de nem ad nagy pontosságot nagy értéktartomány mellett. Pontosan ez az a helyzet, amikor a kórházi átlaghőmérséklet nem hasznos mutató. A központi trend megtalálásának másik módja a medián használata. Hogy elég legyen:

Rendezd sorba az összes számot: a legkisebbtől a legnagyobbig (növekvő sorrendben).
Válassza ki a középső/középső számot.

Ha például van egy 12-es, 3-as, 1-es, 45-ös, 83-as, 4-es, 6-os, 11-es és 100-as számkészletünk, akkor ezeket sorrendbe tesszük: 1, 3, 4, 6, 11, 12, 45 , 83 és 100. A központi szám 11. Ez a kívánt medián. Egy műveletben páratlan számú értékben, kettőben pedig páros számban találhatja meg. Tehát egy központi szám helyett válassz kettőt, add össze és oszd ketté. Például a 2, 3, 5 és 8 halmaz így nézne ki: (3 + 5) / 2 = 4.

A bemutatott példából kiolvasható, hogy nagy számszórás esetén a medián pontossága még a számtani átlagnál is kisebb. Tehát az 1-től 100-ig terjedő tartományban a 11-es tartomány határozottan nem átlag, és ez még szabad szemmel is észrevehető. Ezért a számítás előtt figyelembe veszik az úgynevezett „kibocsátásokat” - egy sorozat egyedi értékeit túl magas névértékkel vagy fordítva - túl alacsony névértékkel. Például az 1, 2, 4, 6 és 73 halmazban ilyen kiugró érték a 73.

Divat keresése

Ennek a mennyiségnek a neve önmagáért beszél, és a mód a leggyakrabban előforduló érték egy számkészletben. Például, ha veszünk egy 4, 7, 3, 4, 6, 8, 1, 4, 3, 9, 2 és 4 halmazt, akkor a mód 4 lesz. Két ismétlődő érték esetén a bimodális sorozat meghatározott, és három vagy több - multimodális. Intervallum-számsorok esetén a mód megtalálása kissé eltér, és nem a leggyakoribb értéket kell keresni, hanem a leggyakoribb modális intervallumot.

Összefoglalva, mindhárom mérték (számtani átlag, medián és módus) egyformán fontos a matematikában és a statisztikában, de különböző helyzetekben használják. Kiszámíthatja őket kis számú prímszámból manuálisan (elmében), de ez a módszer nem alkalmas nagy és összetett sorozatokhoz. Erre vannak speciális alkalmazások, ahol a kiindulási adatok megadása történik, ami után a program gyorsan és maximális pontossággal megadja a kívánt átlagmutatót.

Átlag, medián, módus