😍 Kalkulator średniej, mediany, dominanty

W matematyce i statystyce szeroko stosowane są takie pojęcia, jak średnia arytmetyczna, mediana i moda. Pozwalają znaleźć średnie dla dużych ilości liczb/danych i są integralną częścią badań statystycznych. Ich drugie imię to miary tendencji centralnej, a przy normalnym rozkładzie liczb mediana, moda i średnia arytmetyczna są zawsze równe.

Miary statystyki opisowej

Średnia arytmetyczna

Najłatwiejsza do zrozumienia jest średnia arytmetyczna, która jest równa stosunkowi sumy liczb do ich liczby. Jeśli więc weźmiemy tablicę 500 różnych elementów, umieścimy ich wartości liczbowe w nawiasach i podzielimy przez 500, otrzymamy średnią arytmetyczną. Elementy do uśrednienia to najczęściej wyniki badań, dane statystyczne, wskaźniki ekonomiczne itp. Dziś podejście to jest stosowane w większości dziedzin nauki i nauk przyrodniczych, w tym w naukach humanistycznych, takich jak historia. Ogólnie formuła wygląda następująco:

x = (x1 + x2 + ... + xn) / n,

gdzie x to średnia arytmetyczna, a n to liczba wartości do uśrednienia.

Chociaż średnia statystyczna jest używana do określania trendów centralnych znacznie częściej niż mediana i tryb, jej dokładność nie jest wysoka w przypadku heterogenicznych (bardzo różnych) danych.

Mediana

Równie ważną miarą trendu centralnego jest mediana, która jest wyznaczana według zupełnie innej zasady. Wartości tablicy nie trzeba dodawać i dzielić przez ich liczbę, ale po prostu ułożyć w rzędzie: od najmniejszego do największego. Wartość środkowa tej serii będzie równa medianie. Wszystkie wartości znajdujące się po lewej stronie będą mniejsze, a po prawej - więcej. Liczba liczb w rzędzie nie ma znaczenia i może to być albo 3-5 wartości, albo miliony/miliardy. Ale żeby mediana była jak najbardziej obiektywna/jednoznaczna, liczba wartości musi być nieparzysta.

Przy idealnym rozkładzie liczb mediana i średnia arytmetyczna są sobie równe. Ale pierwszy pozwala znacznie dokładniej znaleźć trend centralny przy dużym rozkładzie liczbowym (w rozkładach asymetrycznych). Staje się to szczególnie przydatne przy obliczaniu wielkości dynamicznych.

Moda

Nazwa tego środka w pełni oddaje jego istotę. Tak więc „modne” jest tym, do czego aspiruje większość. Oznacza to, że tryb jest wartością, która występuje najczęściej w danym wierszu/tablicy. Te ostatnie charakteryzują się równoczesnym istnieniem kilku trybów jednocześnie. Na przykład, jeśli najczęstszymi wartościami w tablicy są a, b i n, są one sumowane i dzielone przez liczbę (3). Oznacza to, że znajdują średnią arytmetyczną.

Najczęściej mod jest używany w badaniach nienumerycznych, w których zamiast liczb używane są pewne cechy/właściwości. Na przykład kolory: niebieski, zielony, srebrny, złoty. Albo różnorodność gatunkowa: terier, rottweiler, doberman, pies pasterski. Aby dowiedzieć się, który z tych kolorów (lub rasy psów) występuje najczęściej w serii, taki środek, na jaki pozwala moda. Jednak wraz z rozwojem technologii cyfrowych jego matematyczna przynależność staje się coraz bardziej oczywista.

Trochę historii

Wszystkie trzy miary były szeroko stosowane stosunkowo niedawno – od XVIII do XX wieku. Najwcześniejsza jest koncepcja mody, która została wynaleziona w XVIII wieku w Europie i pierwotnie była używana tylko w odniesieniu do odzieży. Dziś modę stosuje się do wszelkich badań nieliczbowych, w tym do dziedzin przemysłu, rolnictwa, budownictwa.

Nieco później, w 1843 roku, wprowadzono takie pojęcie jak „mediana” – centralna wartość w szeregu liczb, uporządkowanych według wielkości od najmniejszej do największej. Wprowadził ją francuski matematyk Antoine Augustin Cournot, który z wykorzystaniem tego odkrycia przeprowadził badania psychologiczne i socjologiczne. Ponadto mediana znalazła szerokie zastosowanie w takiej dziedzinie nauki jak astronomia.

Najnowszym wynalazkiem spośród przedstawionych jest średnia arytmetyczna. Trudno w to uwierzyć, ale szeroko zaczęto go używać dopiero po 1906 roku – nieco ponad 100 lat temu. Inicjatorem był słynny angielski naukowiec Francis Galton, który podczas wizyty na wystawie rolniczej obliczył średnią wartość z odpowiedzi 787 uczestników konkursu, dzieląc sumę wartości przez ich liczbę. Chodziło o odgadnięcie wagi byka na oko, a wyniki badań Hamiltona potwierdziły, że średnia arytmetyczna z 787 odpowiedzi okazała się jak najbardziej dokładna, pomimo dużego rozrzutu i przybliżenia opcji dźwięcznych.

Podsumowując, możemy powiedzieć, że dziś miary trendu centralnego są podstawą wszelkich statystyk. Bez nich w zasadzie niemożliwe jest dokładne planowanie: wydatków, dochodów, produkcji itp. Aby obliczyć tryb, medianę lub średnią arytmetyczną, można dziś użyć standardowych formuł lub specjalnych aplikacji.

Jak znaleźć średnią, medianę i dominantę

W statystyce nie można obejść się bez takich wielkości jak średnia arytmetyczna, mediana i moda. Są one obliczane przy użyciu dość prostych wzorów i pozwalają znaleźć wartości średnie dowolnych szeregów/tablic liczbowych, a także średnie obliczeń nienumerycznych (tylko tryby).

Znajdowanie średniej arytmetycznej

Nie ma nic łatwiejszego niż znalezienie średniej arytmetycznej kilku liczb naturalnych. W tym celu wystarczy skorzystać ze wzoru x = (x1 + x2 + ... + xn) / n, czyli podzielić sumę wartości przez ich liczbę. Krok po kroku ta operacja wygląda następująco:

Dodaj wszystkie oryginalne liczby.
Policz liczby.
Podziel sumę liczb przez liczbę.

Na przykład, jeśli weźmiemy liczby 2, 11 i 17, otrzymamy: (2 + 11 + 17) / 3 = 30 / 3 = 3. Trudniej jest pracować z liczbami wielowartościowymi i ujemnymi, zwłaszcza jeśli chodzi o duże tablice liczbowe: kilkadziesiąt, setki, tysiące. W takim przypadku stosuje się zautomatyzowane / programowalne obliczenia: za pomocą specjalnych aplikacji i kalkulatorów online.

Znajdowanie mediany

Obliczanie średniej arytmetycznej jest jasne i proste, ale nie zapewnia wysokiej dokładności przy dużym rozkładzie wartości. Dokładnie tak jest, gdy średnia temperatura w szpitalu nie jest użytecznym wskaźnikiem. Alternatywnym sposobem znalezienia głównego trendu jest użycie mediany. Aby to wystarczyło:

Ułóż wszystkie liczby w rzędzie: od najmniejszej do największej (w porządku rosnącym).
Wybierz środkowy/środkowy numer.

Na przykład, jeśli mamy zestaw liczb 12, 3, 1, 45, 83, 4, 6, 11 i 100, ustawiamy je w kolejności: 1, 3, 4, 6, 11, 12, 45 , 83 i 100. Centralna liczba to 11. To jest pożądana mediana. Możesz go znaleźć w nieparzystej liczbie wartości w jednej akcji, aw liczbie parzystej w dwóch. Więc zamiast jednej centralnej liczby wybierz dwie, dodaj je i podziel na pół. Na przykład dla zestawu 2, 3, 5 i 8 wyglądałoby to tak: (3 + 5) / 2 = 4.

Z przedstawionego przykładu można wywnioskować, że w przypadku dużego rozrzutu liczb dokładność mediany jest nawet mniejsza niż średniej arytmetycznej. Tak więc w przedziale od 1 do 100 - 11 zdecydowanie nie jest średnią i widać to nawet gołym okiem. Dlatego przed obliczeniem brane są pod uwagę tzw. „emisje” – pojedyncze wartości serii o zbyt dużej lub odwrotnie – zbyt małej wartości nominalnej. Na przykład w zestawie 1, 2, 4, 6 i 73 taką wartością odstającą jest liczba 73.

Znajdowanie mody

Nazwa tej wielkości mówi sama za siebie, a tryb jest najczęściej występującą wartością w zbiorze liczb. Na przykład, jeśli weźmiesz zestaw 4, 7, 3, 4, 6, 8, 1, 4, 3, 9, 2 i 4, trybem będzie wartość 4. W przypadku dwóch powtarzających się wartości szereg bimodalny to określony, a przy trzech lub więcej - multimodalny. W przypadku serii liczb przedziałowych znalezienie trybu jest nieco inne i nie należy szukać najczęstszej wartości, ale najczęstszego przedziału modalnego.

Podsumowując, wszystkie trzy miary (średnia arytmetyczna, mediana i tryb) są równie ważne w matematyce i statystyce, ale są używane w różnych sytuacjach. Możesz obliczyć je z niewielkiej liczby liczb pierwszych ręcznie (w swoim umyśle), ale ta metoda nie jest odpowiednia dla dużych i złożonych szeregów. W tym celu istnieją specjalne aplikacje, w których wprowadzane są dane początkowe, po czym program szybko i z maksymalną dokładnością podaje pożądany średni wskaźnik.

Średnia, mediana, dominanta