Srednja vrednost, medijana, modus (formule, primeri)
U matematici i statistici, koncepti kao što su aritmetička sredina, medijana i mod se široko koriste. Oni vam omogućavaju da pronađete proseke za velike količine brojeva/podataka i sastavni su deo statističkih istraživanja. Njihovo drugo ime su mere centralne tendencije, a sa normalnom raspodelom brojeva, medijana, mod i aritmetička sredina su uvek jednaki.
Mere deskriptivne statistike
Aritmetička sredina
Najlakše je razumeti aritmetičku sredinu, koja je jednaka odnosu zbira brojeva i njihovog broja. Dakle, ako uzmemo niz od 500 različitih elemenata, stavimo njihove numeričke vrednosti u zagrade i podelimo sa 500, dobićemo aritmetičku sredinu. Elementi za prosek su najčešće rezultati istraživanja, statistički podaci, ekonomski pokazatelji i sl. Danas se ovaj pristup koristi u većini oblasti nauke i prirodnih nauka, uključujući i humanističke nauke, kao što je istorija. Generalno, formula izgleda ovako:
k = (k1 + k2 + ... + kn) / n,
gde je k aritmetička sredina, a n broj vrednosti koje treba usredsrediti.
Iako se statistička sredina koristi za određivanje centralnih trendova mnogo češće od medijane i moda, njena tačnost nije visoka kada se radi sa heterogenim (veoma različitim) podacima.
Medijan
Jednako važna mera centralnog trenda je medijana, koja se nalazi po potpuno drugačijem principu. Vrednosti niza ne moraju se sabirati i deliti njihovim brojem, već jednostavno poređati u red: od najmanjeg do najvećeg. Centralna vrednost ove serije biće jednaka medijani. Sve vrednosti koje se nalaze levo od njega biće manje, a desno - više. Broj brojeva u nizu nije bitan, a može biti ili 3-5 vrednosti ili milioni/milijarde. Ali da bi medijana bila što objektivnija/nedvosmislenija, broj vrednosti mora biti neparan.
Sa idealnom raspodelom brojeva, medijana i aritmetička sredina su jednake. Ali prvi omogućava da se centralni trend pronađe mnogo tačnije sa velikim širenjem brojeva (u asimetričnim distribucijama). Ovo postaje posebno korisno kada se izračunavaju dinamičke veličine.
Moda
Naziv ove mere u potpunosti prenosi njenu suštinu. Dakle, „modno“ je ono čemu teži većina. To jest, režim je vrednost koja se najčešće javlja u datom redu/nizi. Poslednje karakteriše istovremeno postojanje nekoliko režima odjednom. Na primer, ako su najčešće vrednosti u nizu a, b i n, one se sabiraju i dele brojem (3). To jest, oni pronalaze aritmetičku sredinu.
Najčešće se mod koristi u nenumeričkim studijama, gde se umesto brojeva koriste određene karakteristike/svojstva. Na primer, boje: plava, zelena, srebrna, zlatna. Ili raznolikost vrsta: terijer, rotvajler, doberman, pastirski pas. Da biste saznali koja od ovih boja (ili rasa pasa) se najčešće javlja u seriji, takva mera koju moda dozvoljava. Međutim, sa razvojem digitalnih tehnologija, njena matematička pripadnost postaje sve očiglednija.
Malo istorije
Sve tri mere su bile u širokoj upotrebi relativno nedavno – od 18. do 20. veka. Najraniji je koncept mode, koji je izmišljen u 18. veku u Evropi, a prvobitno se koristio samo u odnosu na odeću. Danas se moda primenjuje na sva nenumerička istraživanja, uključujući oblasti industrije, poljoprivrede, građevinarstva.
Nešto kasnije, 1843. godine, uveden je koncept kao što je "medijana" - centralna vrednost u nizu brojeva, poređanih po veličini od najmanjeg do najvećeg. Uveo ga je francuski matematičar Antoan Ogsten Kurno, koji je sproveo psihološka i sociološka istraživanja koristeći ovo otkriće. Pored toga, medijana je našla široku primenu u takvoj oblasti nauke kao što je astronomija.
Najnoviji pronalazak među predstavljenim je aritmetička sredina. Teško je poverovati, ali je u širokoj upotrebi tek posle 1906. godine – pre nešto više od 100 godina. Inicijator je bio poznati engleski naučnik Frensis Galton, koji je prilikom posete poljoprivrednoj izložbi izračunao prosečnu vrednost iz odgovora 787 učesnika takmičenja, podelivši zbir vrednosti njihovim brojem. Radilo se o nagađanju težine bika na oko, a rezultati Hamiltonove studije potvrdili su da se aritmetička sredina od 787 odgovora pokazala što je moguće tačnijom, uprkos velikom širenju i približnosti izgovorenih opcija.
Rezimirajući, možemo reći da su danas mere centralnog trenda osnova svake statistike. Bez njih je, u principu, nemoguće tačno planiranje: troškovi, prihodi, rezultati itd. Da biste izračunali režim, medijanu ili aritmetičku sredinu, danas možete koristiti standardne formule ili posebne aplikacije.