😍 Калькулятор середнього арифметичного, медіани й моди

У математиці та статистиці широко застосовуються такі поняття як середнє арифметичне, медіана та мода. Вони дозволяють знаходити усереднені показники для великих обсягів чисел/даних і є невід'ємною складовою статистичних досліджень. Їхня друга назва — заходи центральної тенденції, а за нормального розподілу чисел медіана, мода та середнє арифметичне завжди рівні.

Заходи описової статистики

Середня арифметична

Найпростішим для розуміння є середнє арифметичне значення, яке дорівнює відношенню суми чисел до їхньої кількості. Так, якщо взяти масив із 500 різних елементів, помістити їх числові значення у дужки та розділити на 500, отримаємо середнє арифметичне. Як елементи, які потрібно усереднити, найчастіше виступають результати досліджень, статистичні дані, економічні показники тощо. Сьогодні такий підхід застосовується у більшості сфер науки та природознавства, включаючи гуманітарні дисципліни, наприклад історію. Загалом формула виглядає так:

x = (x1 + x2 + ... + xn) / n,

де x — середня арифметична, а n — кількість значень, що підлягають усередненню.

Хоча середнє статистичне використовується для визначення центральних тенденцій набагато частіше, ніж медіана і мода, його точність невисока при обробці різнопланових даних.

Медіана

Не менш важливий захід центральної тенденції — медіана, яка знаходиться за зовсім іншим принципом. Значення масиву не потрібно складати і ділити на їх кількість, а досить просто розмістити їх у ряд: від найменшого до найбільшого. Центральне значення цього ряду і дорівнюватиме медіани. Усі значення, розташовані ліворуч від неї, будуть меншими, а праворуч — більшими. Кількість чисел у ряду не має значення, і це може бути як 3-5 значень, і мільйони/миллиарды. Але щоб медіана була максимально об'єктивною/однозначною, кількість значень має бути непарною.

При ідеальному розподілі чисел показники медіани та середнього арифметичного рівні між собою. Але перша дозволяє значно точніше знаходити центральну тенденцію при великому розкиданні чисел (в асиметричних розподілах). Це стає особливо корисним при підрахунках динамічних величин.

Мода

Назва цього заходу повною мірою передає його суть. Так, «модним» є те, чого прагне більшість. Тобто, мода - це значення, що найчастіше зустрічається в даному ряду/масиві. Для останніх характерне одночасне існування одразу кількох мод. Наприклад, якщо в масиві найчастіше зустрічаються значення a, b і n, їх складають між собою та ділять на кількість (3). Тобто знаходять середнє арифметичне.

Найчастіше мода застосовується у нечислових дослідженнях, де замість цифр використовуються ті чи інші характеристики/властивості. Наприклад, кольори: синій, зелений, сріблястий, золотистий. Або видова різноманітність: тер'єр, ротвейлер, доберман, вівчарка. Дізнатися, який з цих квітів (або порода собак) зустрічається в ряду найчастіше, дозволяє такий захід як мода. Втім, з розвитком цифрових технологій її математична приналежність стає дедалі очевиднішою.

Трохи історії

Усі три заходи знайшли широке застосування відносно нещодавно - з XVIII до XX століття. Найранішим є поняття моди, яку винайшли у XVIII столітті у Європі, і спочатку використовували лише щодо одягу. Сьогодні мода застосовується до будь-яких нечислових досліджень, включаючи сфери промисловості, сільського господарства, будівництва.

Трохи пізніше, в 1843 році, було введено таке поняття як «медіана» — центральне значення в ряді чисел, упорядкованих за величиною від меншого до більшого. Його ввів французький математик Антуан Огюстен Курно, який проводив з використанням цього відкриття психологічні та соціологічні дослідження. Крім того, медіана знайшла широке застосування у такій сфері науки як астрономія.

Найпізнішим винаходом серед представлених вважається середнє арифметичне. У це складно повірити, але його почали широко використовувати лише після 1906 року — трохи більше ніж 100 років тому. Ініціатором став відомий англійський вчений Френсіс Гальтон, який під час відвідин сільськогосподарської виставки вирахував середнє значення з відповідей 787 учасників змагання, розділивши суму значень на їхню кількість. Йшлося про те, щоб на око вгадати вагу бика, і результати дослідження Гамільтона підтвердили, що середня арифметична з 787 відповідей виявилася максимально точною, незважаючи на великий розкид і приблизність озвучених варіантів.

Підбиваючи підсумок, можна сказати, що сьогодні заходи центральної тенденції — основа будь-якої статистики. Без них у принципі неможливо точне планування: витрат, доходів, продукції, що випускається і т. д. Щоб розрахувати моду, медіану або середнє арифметичне, сьогодні можна використовувати стандартні формули або спеціальні додатки.

Як знайти середнє значення, медіану, моду

У статистиці не обійтися без таких величин, як середнє арифметичне, медіана та мода. Вони розраховуються за досить простими формулами та дозволяють знаходити усереднені значення будь-яких числових рядів/масивів, а також середні показники нечислових розрахунків (тільки моди).

Знаходження середнього арифметичного

Немає нічого простішого, ніж знайти середнє арифметичне значення кількох натуральних чисел. Для цього достатньо використовувати формулу x = (x1 + x2 + ... + xn) / n, тобто поділити суму значень на їх кількість. У покроковому вигляді ця операція має такий вигляд:

Складіть усі вихідні числа.
Порахуйте кількість чисел.
Поділіть суму чисел на кількість.

Приміром, якщо взяти числа 2, 11 і 17, отримаємо: (2 + 11 + 17) / 3 = 30 / 3 = 3. З багатозначними та негативними числами працювати складніше, особливо якщо йдеться про великі масиви чисел: кількох десятках, сотнях, тисячах. У цьому випадку застосовується автоматизований/програмований розрахунок: через спеціальні програми та онлайн-калькулятори.

Знаходження медіани

Розрахунок середнього арифметичного наочний і простий, але не дає високої точності при великому розкиді значень. Це якраз той випадок, коли середня температура лікарні не є корисним показником. Альтернативний варіант знаходження центральної тенденції використання медіани. Для її отримання достатньо:

Розмістити всі числа в ряд: від найменшого до найбільшого (за зростанням).
Вибрати центральне/середнє число.

Наприклад, якщо у нас є набір чисел 12, 3, 1, 45, 83, 4, 6, 11 і 100, розташовуємо їх по порядку: 1, 3, 4, 6, 11, 12, 45, 83 та 100. Центральним числом є 11. Це і шукана медіана. Знайти в непарному кількості значень можна за одну дію, а парному — за два. Так, замість одного центрального числа виберіть два, складіть їх і розділіть навпіл. Наприклад, для набору 2, 3, 5 та 8 це буде виглядати так: (3 + 5) / 2 = 4.

За наведеним прикладом можна зрозуміти, що у випадку з великим розкидом чисел точність медіани ще нижча, ніж у середнього арифметичного. Так, в інтервалі від 1 до 100-11 точно не є середнім показником, і це помітно навіть неозброєним оком. Тож до проведення розрахунку враховуються звані «викиди» — поодинокі значення низки із занадто високим чи навпаки — дуже низьким номіналом. Наприклад, у наборі 1, 2, 4, 6 та 73 таким викидом є число 73.

Знаходження моди

Назва цієї величини говорить сама за себе, і мода — це значення, що найчастіше зустрічається в наборі чисел. Наприклад, якщо взяти набір 4, 7, 3, 4, 6, 8, 1, 4, 3, 9, 2 і 4, модою буде значення 4. При двох величинах, що повторюються, визначається бімодальний ряд, а при трьох і більше - мультимодальний. Для інтервальних рядів чисел знаходження моди трохи відрізняється, і шукати потрібно не найпоширеніше значення, а найчастіший модальний інтервал.

Підсумовуючи, можна відзначити, що всі три заходи (середнє арифметичне, медіана та мода) однаково важливі в математиці та статистиці, але використовуються в різних ситуаціях. Порахувати їх із невеликої кількості простих чисел можна вручну (в умі), але для великих і складних рядів такий метод не підходить. Для цього існують спеціальні додатки, куди вводяться вихідні дані, після чого програма швидко і з максимальною точністю видає середній показник.

Середнє значення, медіана, мода